Recibido: Julio, 1998 Aceptado: Junio, 1999
* Instituto de Investigaciones para el Desarrollo Forestal (INDEFOR), Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales. Universidad de Los Andes. Mérida, Venezuela. Apdo Postal 5101. E-mail: amora@forest.ula.ve
Key words: Nelder design, statistical analysis, correlated errors.
Palabras clave: diseño Nelder, análisis estadístico, errores correlacionados.
Nelder (1962) propuso el diseño sistemático Ia (Fan design) para el estudio de un gran número de densidades de poblaciones sobre un área experimental mucho más reducido que la requerida por diseños convencionales. Varios investigadores han estudiado las ventajas que involucra su uso en la experimentación agrícola (Sale, 1966; Añez y Taviria, 1986; Eglí, 1988; Tetio-Kago y Gardner, 1988), sin embargo, no parece existir una conciencia cierta acerca de los riesgos que implica su aplicación por su no aleatorización de los tratamientos de espaciamientos dentro del abanico.
Además, Patel y Patel (1983), Chalita (1991) y Mora (1996) han reportado errores correlacionados y heterocedásticos dentro de la parcela; ésto trae como consecuencia que un análisis de varianza usual produzca resultados inapropiados al probar los efectos entre espaciamientos y su interacción con otro factor adicional en el experimento (e.g., variedades, lámina de riego, fertilizantes, etc.).
Por otro lado, se han hecho algunas propuestas estadísticas que toman en cuenta la correlación presente en las observaciones obtenidas con este tipo de diseño; Patel y Patel (1985) examinaron la utilidad relativa del estadístico multivariado T2 de Hotelling como alternativa en el análisis de experimentos con el diseño sistemático de Nelder, cuando sólo se quiere probar el efecto general entre los espaciamientos evaluados.
Este trabajo provee una metodología de análisis que considera la dependencia de las observaciones; el procedimiento, discutido por Kenward (1987) para el análisis de mediciones repetidas en el tiempo, está basado sobre un modelo tipo antedependencia que se ajusta a la estructura del tipo de correlación entre los errores.
La técnica es mostrada con datos provenientes de un ensayo donde se evaluó el efecto de 20 diferentes densidades de población (6 a
Peso seco de hojas por planta (g)
80 plantas/m2) y dos láminas de riego (60 y 80 mm) sobre el rendimiento de una leguminosa forrajera (Vigna aconitifolia (Jacq.) Marechal), utilizando el diseño Ia de Nelder. Se analizó el peso seco en hojas por planta correspondiente a cada área o posición dentro de hilera (radio) sobre un conjunto de 8 abanicos (parcela) construidos sobre el área experimental. La Figura 1 muestra las respuestas promedios a lo largo de las densidades estudiadas.
Pruebas estadísticas para igualdad y paralelismo
Las hipótesis de interés sobre este tipo de experimento son básicamente las siguientes:
i) Ho: a1 = a2 = . . . = aa; el efecto entre láminas de riego fue igual para el conjunto de densidades evaluadas (i = 1, 2, 3, . . ., a).
ii) Ho: a1 j = a2j; para algún j = 1, 2, ... , p. El efecto entre láminas de riego es igual para la densidad p.
Para probar la hipótesis planteada en (i) se propone el siguiente estadístico:
conocido como el estadístico de Kenward; donde K tiene una distribución ji cuadrada con a*(p-1) grados de libertad, hj es la suma de cuadrados asociada a los efectos del factor lámina de riego obtenidos para los análisis de covarianza de yj con y j-s, ..., yj-1 como covariables, dj es la suma de cuadrados de los errores obtenidos a partir de dichos análisis y p es el número de densidades evaluadas (e.g., p = 1, 2, ..., 20) y s es el orden de la dependencia. Así mismo, la hipótesis planteada en (ii) puede probarse a partir de cada componente j del estadístico K, el cual contiene la información relevante para conocer sobre qué densidad de siembra ocurre tal diferencia entre los niveles de tratamiento; es por ello que se requiere realizar pruebas F secuenciales a partir de los análisis de covarianzas de yj con yjs,…, yj-1 como covariables; es decir, si la antedependencia es de orden 1, se utilizarán como covariables sólo las observaciones precedentes (e.g.; yj con yj-1 como covariables).
Un procedimiento alterno es realizar un análisis de varianza por separado para cada densidad evaluada, pero éste suele ser insatisfactorio por dos razones:
1- Todas la pruebas F son altamente dependientes, debido a la correlación dentro de parcelas.
2- Cada análisis por separado no hace uso de la información sobre la variabilidad de las unidades de muestreo que está contenida en las observaciones restantes; como consecuencia, el cuadrado medio del error de cada análisis de la varianza es sobrestimado y en algunos casos, no podrán detectarse diferencias reales entre tratamientos.
Con el fin de explorar cuál es el orden de la dependencia entre las observaciones dentro de parcela, se utilizó un estadístico de prueba propuesto y descrito por Gabriel (1962) que permite diagnosticar el orden de la antedependencia entre observaciones contiguas tomadas en el tiempo (estudios de crecimiento, mediciones repetidas, etc.). Otra alternativa para determinar el orden de la dependencia es usar las correlaciones parciales de yj con yj+u+1, dado que yj+1 ..., yj están presentes.
RESULTADOS Y DISCUSION
Para el diagnóstico del orden de la antedependencia entre observaciones dentro de parcela Nelder, el valor del estadístico de prueba de Gabriel es de 21.40 (p = 0.259) con 18 grados de libertad bajo una aproximación ji cuadrada, el cual confirma la antedependencia de primer orden; determinándose fuertes correlaciones entre observaciones contiguas y que las mismas no son significativas más allá de sus vecinos más cercanos. Ahora, el estadístico K se obtendrá con los análisis de covarianzas usando como covariable las observaciones de las plantas localizadas en el arco vecino dentro de la parcela Nelder.
El Cuadro 1 presenta el análisis de la varianza usual y el estadístico de Kenward (asumiendo antedependencia de primer orden).
| Fuente de variación | Grados de libertad | Cuadrado medio | F | p> F | Kc2 | p>c2 |
| Lámina | 1 | 0.524 | 0.012 | 0.918 | 11.468 | 0.933a |
| error | 6 | 45.520 |
a: el estadístico de Kenward fue usado con 20 grados de libertad
Ambos procedimientos coinciden en determinar que los rendimientos para cada lámina son iguales para el conjunto de densidades evaluadas, cuyos niveles de significancia son bastante similares. La ventaja del método de Kenward es que éste no requiere el supuesto de homogeneidad de varianzas entre niveles de tratamientos, ignorado muchas veces por los investigadores.
Aun cuando no se hayan detectado diferencias entre láminas, el Cuadro 2 presenta los análisis de varianza (ANAVA) y de covarianza (ANACOVA) individuales, los cuales son necesarios si la decisión tomada a partir del análisis mostrado en el Cuadro 1 fuese significativa. Las pruebas F ajustadas por las covariables representadas por observaciones vecinas son comparadas con aquellas pruebas F usuales del análisis de la varianza para cada nivel de densidad; se debe recordar, que cada análisis de covarianza corresponde a los componentes individuales del estadístico K de Kenward.
| ANAVA | ANACOVA | |||||
| Arco dentro de parcela | Plantas/m2 | F | p>F | F | p>F | Reducción del Error (%) |
| 20 | 6 | 0.19 | 0.682 | 0.19 | 0.682 | < 1 |
| 19 | 7 | 1.86 | 0.231 | 1.92 | 0.225 | < 1 |
| 18 | 8 | 2.41 | 0.181 | 7.35 | 0.042* | 67.21 |
| 17 | 9 | 0.04 | 0.849 | 0.06 | 0.819 | 26.70 |
| 16 | 10 | 1.36 | 0.296 | 1.57 | 0.265 | 13.09 |
| 15 | 12 | 0.02 | 0.892 | 0.03 | 0.878 | 11.93 |
| 14 | 14 | 0.28 | 0.619 | 0.36 | 0.576 | 20.88 |
| 13 | 16 | 0.03 | 0.878 | 0.04 | 0.844 | 20.83 |
| 12 | 18 | 0.11 | 0.753 | 0.12 | 0.745 | < 1 |
| 11 | 20 | 0.37 | 0.569 | 1.27 | 0.310 | 70.80 |
| 10 | 23 | 0.08 | 0.788 | 0.12 | 0.744 | 28.69 |
| 9 | 27 | 0.01 | 0.973 | 0.01 | 0.973 | 25.59 |
| 8 | 31 | 0.29 | 0.613 | 0.54 | 0.495 | 46.52 |
| 7 | 35 | 0.01 | 0.973 | 0.02 | 0.892 | 25.99 |
| 6 | 41 | 0.04 | 0.849 | 0.09 | 0.777 | 51.62 |
| 5 | 47 | 0.52 | 0.503 | 1.41 | 0.287 | 63.32 |
| 4 | 53 | 0.01 | 0.973 | 0.02 | 0.892 | 68.48 |
| 3 | 61 | 0.45 | 0.532 | 0.61 | 0.469 | 25.92 |
| 2 | 70 | 0.53 | 0.499 | 1.60 | 0.262 | 66.55 |
| 1 | 80 | 1.03 | 0.350 | 1.03 | 0.350 | - |
Nótese que para el análisis realizado sobre la densidad 8 plantas/m2 (80 000 plantas/ha), utilizando las observaciones del arco contiguo (9 plantas/m2), detectó diferencias significativas (5 %) entre láminas; sin embargo ésto no fue suficiente para que el estadístico de Kenward detectara diferencias en general.
Por otro lado, se aprecia una reducción hasta de un 70.80 % en los cuadrados medios del error en los análisis de covarianza, mostrando que los valores de las pruebas F estándar sean mayores a las ajustadas, haciéndolas menos eficientes debido a la presencia de una heterocedasticidad espacial propio de este tipo de diseño sistemático.
Por tanto, los análisis que toman en cuenta los valores de rendimiento vecinos son relativamente más eficientes que los análisis de varianza usuales y pueden detectar diferencias reales a lo largo del perfil de densidades de población evaluadas en los experimentos con el diseño de Nelder, principio éste discutido desde 1937 por Papadakis sobre el análisis de experimentos de campo y la correlación espacial entre parcelas vecinas (Papadakis, 1988).
CONCLUSIONES
La metodología propuesta en este trabajo para el análisis de grupos de tratamientos sobre el conjunto de densidades, asumiendo una estructura de dependencia entre observaciones dentro de parcelas, es más eficiente y apropiada que las pruebas F calculadas vía análisis de varianza estándar, ya que el método toma en cuenta, de manera natural, la dependencia existente entre plantas ocupadas sistemáticamente dentro del diseño Nelder, y tiene la ventaja de utilizar la técnica familiar del análisis de la covarianza.
Se sugiere realizar con el análisis propuesto el ajuste de algunos modelos que relacionan el rendimiento y la densidad (Willey y Heath, 1969), así como, de técnicas de estimación apropiada que consideren la correlación espacial de los errores (Mora, 1996), ya sea para propósitos predictivos y/o para la búsqueda de la densidad de población óptima.
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA